Новости

Плоский тор и его вложение

Чтобы понять, что такое плоский тор, представим себе квадрат на плоскости. Будем считать, что противоположные стороны у квадрата отождествлены. Это означает, что всякий двумерный объект на этом квадрате, заезжая за один край, выезжает из противоположного (любители классических игр помнят, что в "Астероидах" именно так летали астероиды). Чтобы понять, что это тор, склеим два края квадрата - получим цилиндр. Теперь склеим края цилиндра и получим привычный всем бублик.

Линии на плоском торе и их образы на вложении. Иллюстрация авторов исследования (кликните, чтобы увеличить)
Линии на плоском торе и их образы на вложении. Иллюстрация авторов исследования (кликните, чтобы увеличить)
При этом, если бы склеивания выполнялись в действительности, стало бы понятно, что из бумажного квадрата цилиндр получается довольно просто, а вот из цилиндра тор - уже нет. Это связано с тем, что в нашем квадрате отрезки, параллельные его сторонам, имеют одинаковую длину по горизонтали и по вертикали, в то время как на настоящем бублике параллели (например, на наружной стороне тора и на внутренней) имеют разные длины. Чтобы сделать из бумажного цилиндра тор, его придется смять, появятся изломы, острые края, то есть поверхность не будет C1-многообразием.